Es gilt für alle reellen oder komplexen Zahlen x und y und für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung:

Die Koeffizienten dieses Polynoms sind wie folgt definiert:

(n! genannt hierbei die Fakultät von n)

Sie werden aufgrund ihres Auftretens in dem binomischen Lehrsatz als Binomialkoeffizienten genannt. (Pascalsches Dreieck)

Für jedes einzelne n kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Isaac Newton ist eine Verallgemeinerung des Theorems auf beliebige reelle Exponenten α mittels unendlicher Reihen zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn α eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

Diese Reihe ist in dem Fall, dass α nicht positiv und ganzzahlig ist, konvergent für alle mit | x / y | < 1.

Für geht Gleichung (2) aber in (1) über und ist gültig für alle und alle .

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

(Im Fall k = 0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.)

Für α = -1 und y = 1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die Geometrische Reihe.

M. Barner, F. Flohr Analysis I. de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.